PRODUCTOS NOTABLES

Los productos notables nos permiten realizar operaciones con expresiones algebraicas de una manera mas sencilla; debido a que podemos transformar un polinomio grande en dos polinomios más pequeños sin alterar la expresión o polinomio original, usando cualquiera de los tipos de producto notable.

¿Qué es un producto notable?

Los productos notables o también conocidos como identidades notables, son un producto o expresiones algebraicas, que cumplen con ciertas reglas, que se conocen como reglas fijas, y donde el resultado obtenido lo podemos escribir con solo hacer una inspección, sin necesidad de verificar la multiplicación o recurrir a varios pasos.

Los productos notables, se puede decir que son el resultado de hacer una factorización, formada de polinomios que poseen varios términos.

En los polinomios, son de gran ayuda ya que con el uso de sus reglas y formulas, permiten que el proceso sea mucho mas corto y que podamos expresar un polinomio directamente sin necesidad de ir probando cada término.

Qué es un producto notable

Los productos notables o también conocidos como identidades notables, son un producto o expresiones algebraicas, que cumplen con ciertas reglas, que se conocen como reglas fijas, y donde el resultado obtenido lo podemos escribir con solo hacer una inspección, sin necesidad de verificar la multiplicación o recurrir a varios pasos.

Los productos notables, se puede decir que son el resultado de hacer una factorización, formada de polinomios que poseen varios términos.

¿Para qué se usan los productos notables?

Los productos notables los podemos usar para realizar operaciones algebraicas de una manera más rápida, sin necesidad de hacer una comprobación de la multiplicación realizada.

En otros casos son utilizados porque ayudan al encontrar: medidas, o en el cálculo de área, superficies, e intensidades en el área de la ingeniería.

Son usados para reducir procedimientos matemáticos; ya que con sus reglas se pueden obviar varios pasos en la resolución de problemas matemáticos.

En los polinomios son usados para reducirlos, usando las diferentes reglas de productos notables.

Tipos de productos notables

Existe varios tipos de productos notables o identidades notables, cada uno con su característica particular, sus diferente forma de resolver y con distintas reglas que cumplir, entre estos podemos mencionar los siguientes:

Binomio al cuadrado.
Binomios conjugados.
Binomio al cubo.

Formulas de productos notables

Existen diversas fórmulas todo dependerá del tipo de factorización que se desee realizar, entre las más importantes podemos mencionar:

Fórmulas de binomio al cuadrado

En este producto notable podemos encontrarnos con dos fórmulas:

Fórmula de suma de un binomio al cuadrado (cuadrado de la suma de dos (2) cantidades)

$(x+a)^{2}=x^{2}+2xa+a^{2}$

Fórmula de resta de un binomio al cuadrado ( cuadrado de la diferencia de dos (2) cantidades)

$(x-a)^{2}=x^{2}-2xa+a^{2}$

Fórmulas de binomio al cubo

En este producto notable podemos encontrarnos con dos fórmulas:

Fórmula de suma de un binomio al cubo (cubo de la suma de dos cantidades)

$(x+a)^{3}=x^{3}+3x^{2}a+3xa^{2}+a^{3}$

Fórmula de resta de un binomio al cubo (cubo de la diferencia de dos cantidades)

$(x-a)^{3}=x^{3}-3x^{2}a+3xa^{2}-a^{3}$

EJEMPLOS

1. $(x+8)^{2}=x^{2}+2(x)(8)+8^{2}=x^{2}+16x+64$ (cuadrado de la suma de dos (2) cantidades)

2. $(2x-5)^{2}=\left (2x \right )^{2}-2(2x)(5)+5^{2}=4x^{2}-20x+25$ ( cuadrado de la diferencia de dos (2) cantidades)

3. $(5x+3)^{3}=(5x)^{3}+3(5x)^{2}(3)+3(5x)(3)^{2}+3^{3}=125x^{3}+225x^{2}+135x+27$ (suma de cubos)

4. $(2x-6)^{3}=(2x)^{3}-3(2x)^{2}(6)+3(2x)(6)^{2}-6^{3}=8x^{3}-72x^{2}+216x-216$ (diferencia de cubos)

Fuente: https://wikimat.es/polinomios/productos-notables/

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Las Fórmulas de binomios conjugados (suma de dos cantidades por su diferencia o visceversa)

$(x+a)(x-a)=x^{2}-a^{2}$

$(x-a)(x+a)=x^{2}-a^{2}$

Fórmulas de binomios con un término común

$(x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b)x+ab$

$(x-a)(x-b)=x^{2}+(-a-b)x+\left [ (-a)(-b) \right ]=x^{2}+(-a-b)x+ab$

$(x+a)(x-b)=x^{2}+(a-b)x+\left [ (a)(-b) \right ]=x^{2}+(a-b)x-ab$

$(x-a)(x+b)=x^{2}+(-a+b)x+\left [ (-a)(b) \right ]=x^{2}+(-a+b)x-ab$

Fuente: https://wikimat.es/polinomios/productos-notables/

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DIVISIONES DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

La división algebraica es una operación entre dos expresiones algebraicas llamadas dividendo y divisor para obtener otra expresión llamado cociente por medio de un algoritmo.

Como estamos trabajando con polinomios, debemos tener en cuenta un punto importante: el mayor exponente de algún término del dividendo debe ser mayor o igual al mayor exponente de algún término del divisor.

Ley de los signos para la división.

División de signos iguales resulta ser positivo.
División de signos diferentes resulta ser negativo.

Ley de exponentes para la división.

Emplearemos la propiedad de la potenciación, cociente de potencias de igual base.

DIVISIÓN DE MONOMIOS.

Las reglas que debemos seguir para dividir dos monomios son las siguientes:

Primero se divide los coeficientes aplicando la ley de los signos.
Luego dividimos las partes literales (variables) de los monomios según la ley de de exponentes.

EJEMPLOS

1. Dados los monomios $P(x)=12x^{8}$ y $Q(x)= -2x^{3}$ entonces

$P(x)\div Q(x)=12x^{8}\div \left ( -2x^{3} \right )=-6x^{5}$ como pueden observar se dividieron los coeficientes de los términos, los signos de cada término y se restaron los exponentes (grado de los términos) porque tenían la misma variable.

2. Dados los monomios $Q(x)=35x^{4}y^{2}$ y $Z(x)=5x^{2}y$ entonces

$Q(x)\div Z(x)=35x^{4}y^{2}\div 5x^{2}y=7x^{2}y$ se observa que se dividieron los coeficientes de los términos, los signos de cada término y se restaron los exponentes (grado de los términos) que tenían la misma base (variable).

DIVISIÓN DE POLINOMIO ENTRE MONOMIO.

Para dividir un polinomio entre un monomio solo debemos seguir los siguientes pasos:

Ordenamos el polinomio en orden decreciente.
Se divide cada término del polinomio (el dividendo) entre el monomio (el divisor).
Se coloca el signo respectivo. Según la división de signos.

EJEMPLOS

1. Dado el polinomio $P(x)= 15x^{12}+4x^{9}+6x^{7}-9x^{4}$ y el monomio $Q(x)= 3x^{3}$ encontrar: $P(x)\div Q(x)$

Solución:

$P(x)\div Q(x)= \frac{15x^{12}}{3x^{3}}+\frac{4x^{9}}{3x^{3}}+\frac{6x^{7}}{3x^{3}}-\frac{9x^{4}}{3x^{3}}=5x^{9}+\frac{4}{3}x^{6}+2x^{4}-3x$

2. Dado el polinomio $P(x)=16x^{30}+12x^{10}$ y el monomio $Q(x)= -4x^{4}$ encontrar: $P(x)\div Z(x)$

$P(x)\div Z(x)=\left (16x^{30}+12x^{10} \right )\div \left (-4x^{4} \right )=\frac{16x^{30}}{-4x^{4}}+\frac{12x^{10}}{-4x^{4}}=-4x^{26}-3x^{6}$

Fuente:https://wikimat.es/polinomios/division/

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DIVISIÓN DE MONOMIOS

DIVISIÓN DE POLINOMIO POR MONOMIO

ACTIVIDAD No 6

ACTIVIDAD No 7

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